Cho : x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{x+2}-x^3=\sqrt{x+2}-y^3\)
tìm GTNN của \(x^2+2xy-y^2+2y+2020\)
cho các số thực x,y,z thỏa mãn 0<=x,y,z<=3
tìm gtnn của A= \(\sqrt{x^2+y^2-2xy}+\sqrt{Y^2-z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\)
không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le z\le y\le x\le3\)
Khi đó : A = x - y + y - z + x - z = 2x - 2z
vì \(0\le z\le x\le3\)nên : \(2x\le6;-2z\le0\Rightarrow2x-2z\le6\)
\(\Rightarrow A\le6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi x = 3 ; z = 0 và y thỏa mãn \(0\le y\le3\)và các hoán vị
Cho : x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{x+2}-x^3=\sqrt{x+2}-y^3\)
tìm GTNN của \(x^2+2xy-y^2+2y+2020\)
Cho 3 số dương a y z thỏa mãn xyz=1 ,tìm GTNN của
P= \(\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(y+x\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện \(x\sqrt{2020-y^2}+y\sqrt{2020-z^2}+z\sqrt{2020-x^2}\) =3030 . tính giá trị của biểu thức \(A=x^2+y^2+z^2\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2020-y^2\ge0\\2020-z^2\ge0\\2020-x^2\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(x\sqrt{2020-y^2}+y\sqrt{2020-z^2}+z\sqrt{2020-x^2}=3030\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{2020-y^2}+2y\sqrt{2020-z^2}+2z\sqrt{2020-x^2}=6060\)
\(\Leftrightarrow2020-y^2-2x\sqrt{2020-y^2}+x^2+2020-z^2-2y\sqrt{2020-z^2}+y^2+2020-x^2-2z\sqrt{2020-x^2}+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2020-y^2}-x\right)^2+\left(\sqrt{2020-z^2}-y\right)^2+\left(\sqrt{2020-x^2}-z\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2020-y^2}-x\right)^2=\left(\sqrt{2020-z^2}-y\right)^2=\left(\sqrt{2020-x^2}-z\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2020-y^2}=x\\\sqrt{2020-z^2}=y\\\sqrt{2020-x^2}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020-y^2=x^2\\2020-z^2=y^2\\2020-x^2=z^2\end{matrix}\right.\)(vì \(x,y,z>0\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2020=x^2+y^2\\2020=y^2+z^2\\2020=z^2+x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3.2020\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3.1010=3030\)
\(\Rightarrow A=x^2+y^2+z^2=3030\)
Vậy \(A=3030\)
Bài 1: cho x,y là các số thực thõa mãn \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+3}-x^3.\)
tìm MIN của \(B=x^2-2y^2+2xy+2y+10\)
Bài 2: cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
tìm MAX và MIN của \(P=x+y+2z\)
Bài 1:
ĐK: \(x,y\ge-2\)
Ta có: \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\frac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}=0\)
=> x-y=0=>x=y
Thay y=x vào B ta được: B=x2+2x+10\(=\left(x+1\right)^2+9\ge9\forall x\ge-2\)
Dấu '=' xảy ra <=> x+1=0=>x=-1 (tmđk)
Vậy Min B =9 khi x=y=-1
Tìm x,y thỏa mãn: \(\hept{\begin{cases}xy+x+1=7y\\x^2y^2+xy+1=13y^2\end{cases}}\)
Tìm nghiệm nguyên: \(2y\left(2x^2+1\right)-2x\left(2y^2+1\right)+1=x^3y^3\)
Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn: \(\frac{x-y\sqrt{2020}}{y-z\sqrt{2020}}\) là số hữu tỉ và \(x^2+y^2+z^2\) là số nguyên tố
1) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x\(\sqrt{2020-y^2}\) + y\(\sqrt{2020-z^2}\) +z\(\sqrt{2023-x^2}\)=3030. Tính giá trị vủa biểu thức A=x\(^2\)+\(y^2\)+\(z^2\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x\sqrt{2020-y^2}+y\sqrt{2020-z^2}+z\sqrt{2020-x^2}\leq \frac{x^2+(2020-y^2)}{2}+\frac{y^2+(2020-z^2)}{2}+\frac{z^2+(2020-x^2)}{2}=3030\)Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{\begin{matrix} x^2=2020-y^2\\ y^2=2020-z^2\\ z^2=2020-x^2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=\sqrt{1010}\)
Khi đó:
$A=3(\sqrt{1010})^2=3030$
Cho các số x,y,z thỏa mãn x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0.Tính giá trị biểu thức A=(x-1)^2020+(y-2)^2020+(z-3)^2020
x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0
<=> ( x2 - 2xy + y2 ) + ( y2 - 2y + 1 ) + ( z2 - 4z + 4 ) = 0
<=> ( x - y )2 + ( y - 1 )2 + ( z - 2 )2 = 0
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\\\left(z-2\right)^2\ge0\end{cases}}\forall x;y;z\)=> ( x - y )2 + ( y - 1 )2 + ( z - 2 )2\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z
Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)( 1 )
Thay ( 1 ) vào A , ta được :
\(A=\left(1-1\right)^{2020}+\left(1-2\right)^{2020}+\left(2-3\right)^{2020}=0+1+1=2\)
Vậy A = 2
Ta có: \(x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-4z+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=0\)
Mà \(VT\ge0\left(\forall x,y,z\right)\) nên dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)
Cho x,y thỏa mãn \(\sqrt{x+2}\) - y3 = \(\sqrt{y+2}\)- x3. TÌm GTNN: B= x2+2xy+2y2+2y+10